一、数列极限的 ε-N 定义（$n \to \infty$）
取数列：
\[ x_n = \frac{n^2+1}{2n^2-n} \]
其极限为：$\frac12$
图形演示：$x_n$ 随 $n$ 的变化（红色带为 $\frac12\pm\varepsilon$）
数列 $x_n$ 极限 $\frac12$ $\varepsilon$ 容差带 临界 $N$
二、函数极限的 ε-δ 定义（$x \to x_0$）
取函数：
\[ f(x)=\frac{x-\pi/2}{\cos x},\quad x_0=\frac{\pi}{2} \]
其极限为：$-1$
图形演示：$f(x)$ 在 $x_0=\frac\pi2$ 附近（红色带为 $-1\pm\varepsilon$）
函数 $f(x)$ 极限 $-1$ $\varepsilon$ 容差带 $\delta$ 邻域边界 $x'$